Manipulación y clasificación de superficies compactas

Este libro constituye un punto de partida para el estudiante de la carrera de matemáticas en el ámbito de la Topología Algebraica. Dicha rama de la Topología usa el Álgebra abstracta como herramienta para estudiar los espacios topológicos. En particular, el objetivo principal del presente texto es la clasificación de superficies compactas y conexas. Por ello, el primer capítulo queda dedicado a una rápida revisión de conceptos y resultados de geometría diferencial, topología general, teoría de grafos y de grupos de los que se nutre la clasificación de superficies. Seguidamente, en el Capítulo 2 se introduce el concepto de n-variedad, centrándose en el de 2-variedad o superficie, dando algunos ejemplos que pueden construirse también usando palabras y operaciones entre ellas, de modo similar a cómo se manejan presentaciones de grupos. Por su parte, el tercero proporciona los teoremas principales de clasificación de superficies compactas y conexas, tanto sin borde como con borde, mientras que el cuarto muestra una serie de aplicaciones de lo que es un invariante topológico y que resulta ser clave en la clasificación de superficies: la característica de Euler. Finalmente, el quinto capítulo introduce la noción de nudo y trenza, la relación existente entre ambos, y mostraremos cómo construir superficies a partir de los anteriores. El libro culmina con un capítulo de ejercicios resueltos para complementar los ya solucionados anteriormente, y otros que se proponen al estudiante para su resolución; y la correspondiente bibliografía. Gracias al material presentado en esta obra, el lector podrá adquirir las competencias necesarias para avanzar fácilmente en el estudio de otros invariantes de la Topología Algebraica, como el grupo de lazos de Poincaré que, en el caso de las superficies compactas, determina completamente su clasificación.